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A los de álgebra moderna II

Publicado: abril 20, 2014 en Uncategorized

más ejercicios compañeros:

2.11

2.13

2.14

2.16

2.17 solo inciso i)

2.18

2.21 solo inciso i)

2.24

2.25

2.26

2.27

2.29 Para el inciso (ii) hágase caso de la frase que está entre paréntesis en el primer inciso. Además, el teorema 2.18 inciso ii puede ser útil.

2.30-2.34 (para el 2.34 ver último renglón de la pagina 30)

2.36

2.37 (solo el inciso i)

2.38 (pueden tomar por cierto el inciso iii) del ejercicio 2.37)

Saludos y aguas con las replicas.

Para Jonatan

Publicado: abril 1, 2014 en Uncategorized

Màs o menos es así:

\int \frac{3xdx}{x^2\sqrt{lnx}}=\int \frac{3dx}{x\sqrt{lnx}}.
Ahora hacemos el cambio de variable: u=lnx, con lo que du=\frac{dx}{x}. Por tanto nuestra integral ahora se convierte en \int \frac{3dx}{x\sqrt{lnx}}= 3\int(\frac{du}{\sqrt{u}})=3\int(u^{-\frac{1}{2}}du)=\frac{3u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=6u^{\frac{1}{2}}+C. Sustituyendo el valor de u en esta ùltima
expresion queda: 6u^{\frac{1}{2}}+C=6\sqrt{lnx}+C. Sale sobrino, cualquier otra duda ya sabes con toda confianza.

Saludos

Segunda tarea càlculo III

Publicado: marzo 12, 2014 en Uncategorized

Hola compañeros de cálculo III, esta es la segunda tarea.
Mañana doy indicaciones de còmo se ha de resolver.
Que pasen buenas noches

SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO EUCLÍDEO

1.- Demostrar que la unión de un número cualquiera (también infinito)  de conjuntos abiertos es abierto. Demostar que la intersección de dos (y por tanto de cualquier número finito) de conjuntos abiertos es abierto. Dar un contraejemplo para infinitos conjuntos abiertos.

2.- Dado r>0, probar que el conjunto \{x\in \mathbb{R}^{n}: |x-a|<r\} es abierto. Dicho conjunto se conoce como “la bola abierta de radio r y centro a. Se denota mediante B_{r}(a) .

3.- Un conjunto U es “avierto” si para cada x\in U existe r>0 tal  que B_{r}(x)\subseteq U. Probar que “abierto=avierto”.

4.- Hallar el interior, el exterior y la frontera de los conjuntos

     \{x\in \mathbb{R}^{n}: |x|\leq 1\}

     \{x\in \mathbb{R}^{n}:|x|=1\}

     \{x\in \mathbb{R}^{n}:x_{i}\in \mathbb{Q}\}.

5.- Si A\subset [0,1] es la unión de intervalos abiertos (a_{i}, b_{i}) tales que cada número racional de (0,1) está contenido en algún (a_{i},b_{i}), probar que la frontera de A es [0,1]-A.

6.- Si A es un conjunto cerrado que contiene cada número racional r\in [0,1], probar que [0,1]\subset A.

7.- Probar el recíproco del corolario 1-7: Un subconjunto compacto de \mathbb{R}^{n} es cerrado y acotado.

8.-  Si A es cerrado y x\notin A, probar que existe un número d>0 tal que |y-x|\geq d para todo y\in A.

9.- Si U es abierto y C\subset U es compacto, probar que existe un conjunto compacto D tal que C\subset int D\subset D\subset U.

Abajo esta es la lista de ejercicios. La próxima semana serán expuestos en clase. Son 3 equipos, de manera que los ejercicios serán repartidos mod3. Es decir; al primer equipo le tocara el primer ejercicio, al segundo equipo el segundo ejercicio, al tercer equipo el tercer ejercicio y así sucesivamente.

 

Esta es la lista pues:

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.39

1.40

1.41

Saludos y buenas tardes 

2.1
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Primer tarea cálculo III

Publicado: febrero 26, 2014 en Uncategorized

Nota: En esta tarea el producto interno de dos vectores x, y se denota mediante <x,y> en lugar de x\cdot y

1.- Una aplicación lineal T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}  se dice que “conserva la norma” si |Tx|=|x| y que “conserva el producto interior”  si <Tx,Ty>=<x,y>.

(a) Probar que T conserva la norma si y sólo si T conserva el producto interior.

(b) Probar que una aplicación lineal de este tipo es 1-1 y que T^{-1} es de la misma naturaleza.

2.- Si x, y\in \mathbb{R}^{n} son no nulos “el ángulo” entre x e y indicado por  <(x,y) se define como <(x,y)=arccos (\frac{<x,y>}{|x||y|}). La aplicación T se dice que “conserva los ángulos” si T es 1-1 y para x, y\neq 0 se tiene que <(Tx,Ty)=<(x,y).

(a) Probar que si T conserva la norma, T conserva los ángulos.

(b) Si existe una base x_{1},\ldots , x_{n} de \mathbb{R}^{n} y números  \lambda_{1},\ldots , \lambda_{n}  tales que Tx_{i}=\lambda_{i}x_{i} probar que T conserva los ángulos si y sólo si todas las |\lambda_{i}| son iguales.

(c) ¿Cuáles son todas la T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n} que conservan ángulos?

3.- Si T: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m} es una aplicación lineal, probar que existe una matriz A  de orden m\times n tal que Tx=Ax para cada x\in \mathbb{R}^{n}.

4 Si 0\leq \theta\leq \pi, sea T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2} cuya matriz es \begin{bmatrix}{sen\theta}&{cos\theta}\\{-cos\theta}&{sen\theta}\end{bmatrix}. Probar que T conserva los ángulos, y si x\neq 0, entonces <(x,Tx)=\theta

5.- Si T:\mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{n} es una aplicación lineal de \mathbb{R}^{m} a \mathbb{R}^{n}. Probar que existe un número M tal que |T(h)|\leq M|h| para cada h \in \mathbb{R}^{m}.

6.- Si x,y\in \mathbb{R}^{n} y z,w\in \mathbb{R}^{m}, probar que <(x,z),(y,w)>=<x,y>+<z,w> y |(x,z)|=(|x|^{2}+|z|^{2})^{\frac{1}{2}}.  Obsérvese que (x,z) y (y,w) representan puntos en \mathbb{R}^{n+m}.

7.- Sea ( \mathbb{R}^{n})^{\ast} el espacio dual del espacio vectorial \mathbb{R}^{n}. Si x\in \mathbb{R}^{n}, se define \varphi_{x}\in (\mathbb{R}^{n})^{\ast} mediante \varphi_{x}(y)=<x,y>. Se define T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow (\mathbb{R}^{n})^{\ast} mediante T(x)=\varphi_{x}. Probar que T es una aplicación lienal 1-1 y que cada \varphi\in (\mathbb{R}^{n})^{\ast} es un \varphi_{x} para un único x\in \mathbb{R}^{n}.

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