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Álgebra moderna II

Publicado: junio 21, 2014 en Uncategorized

Sigue la mata dando:

3.10

3.37

3.41

3.42

Ya están las calificaciones finales.final calculo

Para que se los repito si ya se lo requetesaben.
Saludos y buenas tardes.

Esta es la lista muchachos, saludos y buenas tardes.

2.57-2.59 (En el 2.57 pueden usar el Teorema de Cauchy).

2.66

2.68-6.69

2.72 esta tá bonito.

2.74-2.75.

2.77 También está bonito.

3.3

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Protegido: Para ANA

Publicado: junio 5, 2014 en Uncategorized

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A los de Álgebra Moderna II

Publicado: mayo 16, 2014 en Uncategorized

La siguiente, es la nueva lista de ejercicios.
En esta ocasión cada quien puede hacer el o los que guste con objeto de mejorar la calificación final del 2do. parcial.
Les informo que además, los ejercicios que resuelvan serán contados como tareas y participación para el 3ro.

2.44-2.51

2.53 (En este, Dingle no tiene participación y quien lo haga, deberá hacerlo como Dios manda).

Saludos y buenas noches a todos.

Las reglan cambian. Esta vez todos los equipos deberán entregar todos los ejercicios.

1.- Sea A\subseteq \mathbb{R}^n y f:A\rightarrow \mathbb{R}^m una función. Probar que cada función componente f_i (las que se definen en la pagina 10 del libro y que ahí se denotan con superindicies en vez de subindices) es continua si y solo si f es continua.

2.- Probar que una aplicación lineal T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m (Sugerencia: usar el ejercicio 1-10 del libro o el ejercicio 5 de la primer tarea, ora si que, como ustedes quieran verlo, verdad?).

3.- Para cada x,y\in \mathbb{R}^n, demostrar que ||x|-|y||\leq |x-y|.

4.- Para r>0 y a\in \mathbb{R}^n demostrar que la bola B_r(a)= \{x\in \mathbb{R}^n: |x-a|<r\} es un conjunto abierto considerando la función f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} Definida mediante f(x)=|x-a| (Sugerencia: Buena valona haría usar el ejercicio anterior (pos por eso lo puse) para probar que f es continua y luego luego aplicar el antepenúltimo teorema que vimos en clase a algún subconjunto abierto adecuado de \mathbb{R}).

5.-Si A\subset \mathbb{R}^{n} no es cerrado, probar que existe una función continua f: A\rightarrow \mathbb{R} que es no acotada. (Hint: Si a\in \mathbb{R}^n-A pero a\notin int(\mathbb{R}^n-A), definase f(x)=\frac{1}{|x-a|} ).

6.- Si A es compacto probar que toda función continua f:A\rightarrow \mathbb{R} toma en A un valor máximo y un valor mínimo.

7.- Sea f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} una función creciente. Si x_1,\ldots , x_n\in [a,b] demostrar que \sum_{i=1}^n o(f,x_i)<f(b)-f(a).

Diferenciación

Definiciones Básicas

8.- Probar que si f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m es diferenciable en a\in \mathbb{R}^n, entonces f es continua en a. (Sugerencia: Utilícese el problema 1-10 del libro).

9.- Una función f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} es independiente de la segunda variable si para cada \mathbb{R} se tiene que f(x,y_1)=f(x,y_2) para cada y_1, y_2\in \mathbb{R}. Probar que f es independiente de la segunda variable si y sólo sí existe una función g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x,y)=g(x). ¿Cómo se expresa f^{\prime}(a,b) por medio de g^{\prime}?

10.- Definir cuándo una función f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} es independiente de la primer variable y hallar f^{\prime}(a,b) para una f en estas condiciones. ¿Qué funciones son independientes de la primera y también de la segunda variable?.

11.- Sea g una función de valores reales definida sobre la circunferencia unitaria S^1=\{x\in \mathbb{R}^2:|x|=1\} tal que g(0,1)=g(1,0)=0 y g(-x)=-g(x). Se define f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} mediante:

f(x) = \left\{  \begin{array}{c l}  |x|g(\frac{x}{|x|}) & x \neq 0,\\  0 & x =0.  \end{array}  \right.

(a).- Si x\in \mathbb{R}^2 es un punto fijo pero arbitrario y \varphi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} está definida mediante \varphi(t)=f(tx), probar que \varphi es diferenciable.

(b).- Demostrar que f no diferenciable en (0,0) a menos que g sea la función constante 0 (o sea g(x)=0 para todo x\in S^1). (Ayuda: Primero probar que Df(0,0) debería ser 0 considerando (h,k) con h=0 y después con k=0).

12.- Sea f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} definida mediante:

f(x,y) = \left\{  \begin{array}{c l}  \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq 0,\\  0 & x =0.  \end{array}  \right.

Demostrar que f es una de las funciones del tipo consideradas en el problema anterior de manera que f no es diferenciable en (0,0).

13.- Sea f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R} una función tal que |f(x)|\leq |x|^{2}. Probar que f es diferenciable en 0.

14.- Sea f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}. probar que f es diferenciable en a\in \mathbb{R} si y sólo si f^{1}, f^{2} lo son y que en este caso

f'(a)= \begin{bmatrix}{ (f^{1})'(a)}\\{ (f^{2})'(a)}\end{bmatrix}.

15.- Dos funciones f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} son iguales hasta el orden n en a si

 \displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-g(a+h)}{h^{n}}=0}.

(a) Probar que f es diferenciable en a si y sólo si existe una función g de la forma g(x)=a_{0}+a_{1}(x-a) tal que f y g son iguales hasta el primer orden en a.

(b) Si f'(a),\ldots , f^{(n)}(a) existen, probar que f y la función g definida por

g(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{f^{i}(a)}{i!}(x-a)^{i}

son iguales hasta el orden n.

(Hint: el límite:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-\sum_{i=1}^{n}\frac{f^{i}(a)}{i!}(x-a)^{i}}{(x-a)^n}}

puede calcularse por la regla de L´Hópital).

A todos…

Publicado: mayo 9, 2014 en Uncategorized

Les mando libro de Teoría de Conjuntos.

Solo denle click en donde en rojo dice: “Fernandez, Teoria de conjuntos”

Saludos y buena tarde.

Fernandez,Teoria de conjuntos